Si, lors d'une mise à jour du noyau, vous avez l'erreur ci-dessus, c'est que le dossier boot n'a plus assez d'espace car les anciens noyaux sont toujours là.
Repérez d'abord la version en cours en faisant :

uname -r

Vous devriez obtenir quelque chose comme 4.4.0-34-generic (la version peut changer selon votre installation).

Ce noyau NE DOIS ABSOLUMENT PAS être supprimé (c'est la version en cours).

Observez toutes les versions à l'aide d'un ls /boot et recherchez la plus ancienne. Recherchez ensuite tous les fichiers qui lui sont associés à l'aide de la commande :

locate -b -e 3.19.0-56-generic

(la version est à adapter au résultat obtenu pas ls /boot)
Les options -b et -e servent respectivement à lister le nom des fichiers qui répondent au pattern recherché (ici 3.19.0-56-generic) et qui existent au moment de l'exécution de locate

On va les supprimer en utilisant la commande :

locate -b -e 3.19.0-56-generic | xargs -p sudo rm -r

Ici, on refait la recherche mais grâce à xargs et au pipe, on passe le résultat de la recherche à la commande suivante qui demande une suppression récursive (rm -r). Heureusement, la commande doit être confirmée grâce à l'option -p : le résultat est affiché avant d'être exécuté et doit être confirmé grâce à la touche y (pour yes). La touche n annule tout.

Vérifiez ensuite que la commande a bien fonctionné en faisant :

sudo updatedb && locate -b -e 3.19.0-56-generic

Si rien ne s'affiche, c'est que la suppression a bien eu lieu.

Répétez l'opération autant de fois que nécessaire pour ne conserver que 2 noyaux (celui en cours et le précédent).

Ensuite, exécuter les commandes suivantes pour finaliser la mise à jour :

sudo update-grub
sudo apt update
sudo apt upgrade

Puis, en croisant les doigts :

update-initramfs

Pour éviter ces désagréments à chaque mise à jour du noyau, faire avant un :

sudo apt autoremove