$ curl \
    --insecure \
    --request POST \
    --header 'Content-Type: multipart/form-data' \
    'h ttps://www.monsite.com/monformulaire' \
    -F 'username=toto' \
    -F 'password=pass4toto' \
    -F 'date-de-naissance=11-02-82' \
    -F "file=@monfichier.txt" \
    --include

Détail des options:

--insecure permet d'utiliser une connexion sécurisée (https) avec un certificat auto-signé (non reconnu)
--request POST permet d'indiquer le type de la requête
--header 'Content-Type: multipart/form-data' permet d'indiquer l'en-tête de la requête
-F permet d'indiquer les valeurs pour les différents champs du formulaire
--include permet de récupérer l'en-tête de la réponse

info : Pour poster un fichier, il est nécessaire de préfixer le nom du fichier avec l'arobase (@)

Est-ce qu'on peut envoyer de gros fichiers avec cette méthode et s'affranchir des limites de php ?
Ça serait intéressant de tester...